【什么是同调论-图】百科知识点

数学学习中大家会遇到很多数学名词，掌握这些名词的相关知识点对大家学好数学是很有帮助的，为此下面学大教育为大家带来【什么是同调论-图】百科知识点，希望大家能够记忆好这些知识点。

《同调论》是现代数学的一门重要基础课。本课程教学目的是使学生掌握同调论基本概念、基本理论，了解同调论的方法及最新发展，同时，它也为进一步学习分析、几何及代数拓扑奠定了基础。本课程介绍“同调论”最基本的内容：预备知识,多面体及其单纯同调论，上同调论，奇异同调论，相对奇异同调论，同调论公理及同调论的应用等。在教学内容上充分体现了基础性、综合性、先进性。使学生了解同调论领域的最新进展和最新成果，充分体现课程内容的时代性和前沿性。

《同调论》是现代数学的重要基础课程，也是应用数学的基本研究对象之一，它偏重于用代数方法来 研究拓扑学问题,即用代数作为工具研究拓扑空间的自身结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。 《同调论》采用了极为有力的表述形式及高度抽 象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力,以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。《同调论》不仅在微分几何、复变函数、代数几何、抽象代数、代数数论、微分方程、对策论等其他许多数学分支中有着广泛的应用。而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如:电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用。已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，也是非数学类众多领域的本科生及研究生必修的数学基础课程。代数拓扑学中的一个主要组成部分，研究与同调概念有关的课题。考虑带有方向的曲面(块)与曲线(段),如圆盘均由旋转箭头定向。圆周Z与Z┡是比D与D┡低一维的图形,作为曲线，它们各按所标的箭头定向。规定D的边缘为Z，记作嬠D=Z;对于D┡,则应有嬠D┡=-Z┡。无底圆筒 C与它的上下边界W1与W0按所标箭头定向后有嬠C=W1-W0。在环面T中，圆圈Z为曲面块 A的边缘，嬠A=Z，这时称闭曲线Z在环面T上同调于零，记作Z～0。闭曲线W在T上不同调于零，但嬠B=W-W1,这时称闭曲线W同调于W1，记作W～W1。同调概念就是在这种定向图形之间的边缘关系上建立起来的。 在图5的曲面S上,α、с、d都不同调于零,b)～0，α不同调于с、d中的任何一个，但с～d。将图6中圆盘边界上的每一对对径点(诸如A与A┡,B与B┡)粘合,得到的曲面p叫做射影平面H.庞加莱从1895年起，为了对同调概念做一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学。

0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体,n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。

除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如，一维单形的定向可以用从起点到终点的箭

头给出，二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7),等等。一般对于n维单形有两个定向,可以用顶点的顺序来给出它的定向。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。例如，线段AB的一个定向可以用(A,B)表示,另一个定向则可用(B,A)表示;三角形ABC的一个定向可用(B,A,C)或(C,B,A)或(A,C,B)表示,另一个定向可用(B,C,A,)或(C,A,B)或(A,B,C)表示。

是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如，图8之a这个单纯复形是由4个0维单形A,B，C，D;4 个一维单形AB，BD，CD，BC和1个二维单形BCD按照图8之a中所画的关系拼凑而组成的。图8之b这个单纯复形是由6个0维单形A，B，C，A┡，B┡,C┡,12个一维单形AB,BC,CA,A┡B┡,B┡C┡，C┡A┡，B┡C，A┡C，A┡B，BB┡，AA┡，CC┡，6个二维单形AA┡B，A┡BB┡，BB┡C，B┡CC┡，CC┡A┡，CA┡A按照图8之b中所画的关系拼凑而组成的。单纯复形的n维链 　形 的线性组合叫一个n维链,其中 }取遍单纯复形K的所有单形，且每个单形取好了定向(0维单形不取定向),αi为整数(即线性组合中的每一项是K中的一个n维定向单形，且附一个整系数)。两个n维链之和定义为一个n维链，其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:K的所有的n维链组成一个交换群,这个交换群叫K的n维链群，记作Cn(K)。例如，图8之a 中的单纯复形,3(A,B)+2(B,C)-(C,D)-5(B,D)为一个一维链;图8之b中的单纯复形,4(A,A┡,B)-2(B,B┡,C)+(C，A,A┡)为一个二维链。

规定0维单形的边缘为零,一维定向单形(A,B)的边缘为B-A，二维定向单形(A,B,C)的边缘为(B,C)-(A,C)+(A,B),三维定向单形(A,B,C,D)的边缘为(B,C,D)-(A,C,D)+(A,B,D)-(A,B,C),等等。可类似地定义n维定向单形的边缘。以符号嬠写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个n维，规定它的边 (即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和)。不难看出,一个n维链的边缘是一个n-1维链。由此得到从n维链群到n-1维链群的同态，这个同态叫做(下)边缘算子，记作嬠:Cn(K)→Cn-1(K)。边缘算子具有嬠嬠=0的性质。

满足嬠x=0的n维链x叫n维闭链。例如,图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)就是一个一维闭链。单纯复形K的所有n维闭链所组成的交换群叫K的n维闭链群，记作Zn(K)。

如果一个n维链是某一个 n+1维链的边缘,则称此链为n维边缘链(即一个n维图形是n+1维图形的边缘)。例如图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)=嬠(B,C,D)就是一个一维边缘链。单纯复形K的所有n维边缘链所组成的交换群叫K的n维边缘链群，记作Bn(K)。由于边缘链一定是闭链，因而Bn(K)是Zn(K)的子群。

由于Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做单纯复形K的n维(下)同调群，记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素叫做一个n维同调类。如果两个n维闭链zń,z怽的差为一个边缘链时,就叫zń与z怽同调。如果zn是边缘链，则称zn同调于零。例如,图8b中的单纯复形,2个一维闭链(A,B)+(C,A)+(B,C)，(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而这两个闭链同调(而它们都不同调于零)。同调群 Hn(K)的秩叫做K的n维贝蒂数。如果在n维链群的定义中,用任意的一个交换群G中的元素代替整数，可以得到以G为系数的n维链群 Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G),n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。

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